Инварианты

1. На листке написаны целые числа от 1 до 10. Разрешается за один ход стереть любые два числа и написать вместо них их сумму. Какое число останется в конце?

2. На столе стоят 7 стаканов, все вверх дном. За один ход можно одновременно перевернуть два стакана. Можно ли добиться того, чтобы все стаканы стояли вниз дном?

3. Круг разбит на 6 секторов, в которых по часовой стрелке расставлены числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. За один ход разрешается прибавить по единице к любым двум соседним числам. Можно ли добиться того, чтобы все числа стали одинаковы?

4. Аня порвала лист бумаги на 3 части и дальше рвёт каждый попадающийся ей кусок тоже на 3 части. Может ли у неё получиться 100 кусков?

5. В банке находится 17 черных и 17 белых кофейных зёрен. Разрешается за один ход выбрать случайно два зерна, и если они одного цвета, то вынуть их и добавить в банку черное зерно, а если они разного цвета, то белое зерно вернуть в банку, а черное вынуть. Какого цвета зерно останется в банке?

6. Шесть детей стоят по кругу, и на каждом из них сидит комар. Время от времени какие-то 2 комара одновременно перелетают со своего ребёнка на соседнего. Могут ли все комары собраться на одном ребёнке?

7. В таблице 8×8 одна из клеток закрашена черным цветом, а все остальные — белым. Можно ли с помощью перекрашивания строк и столбцов добиться того, чтобы все клетки стали белыми? Перекрашивание — это операция изменения цвета всех клеток в строке или столбце.

8. Из бумажной шахматной доски 8×8 вырезали две клетки: левую нижнюю и правую верхнюю. Можно ли дальше разрезать её на прямоугольники 2×1?

9. Можно ли пройти конём из левого нижнего угла шахматной доски в правый верхний угол, побывав на каждой клетке ровно один раз?

Alpha (10–12 лет): 4 задачи, Beta (13–14 лет): 8 задач.