Неравенства с фиксированной суммой

Задание для детей 13–14 лет. См. ниже pdf-файл (для печати). Источник — статья В.Л.Гутенмахера Неравенства с фиксированной суммой в журнале Квант.

1. В трёх пакетах находится 1 кг муки, причём в первом пакете муки не больше, чем во втором, а во втором — не больше, чем в третьем. Может ли во втором пакете быть 2/5 кг муки? 3/5 кг муки?

2. (продолжение) Докажите, что в первом пакете, самое большее, 1/3 кг муки, а во втором, самое большее, — 1/2 кг муки.

3. Какие значения может принимать средний по величине угол треугольника? Подсказка: сумма углов треугольника равна 180 градусам.

4. Докажите, что в выпуклом пятиугольнике не может быть больше трёх острых углов.

5. В четырёх мешках находится 12 кг муки, причём в первом мешке муки небольше, чем во втором, во втором мешке — не больше, чем в третьем, а втретьем — не больше, чем в четвёртом.

a) Докажите, что в третьем мешке не больше 6 кг муки.

b) Сколько, самое меньшее, может быть муки в четвёртом мешке?

c) Докажите, что во втором и третьем мешках вместе, самое большее, 8 кг муки.

d) Сколько, самое меньшее, может быть муки в первом и четвёртом мешках вместе?