Занимательная арифметика

Задание для детей 10-12 лет. См. ниже pdf-файл (для печати). Источник — книга Я.И.Перельмана "Занимательная арифметика".

1. На какие (натуральные) числа делятся числа (a) 1001, (b) 10101, (c) 10001, (d) 111111 ? Как можно упростить подсчёты?

2. Вычислите: 111111111 × 111111111.

3. Назовём действие простым, если это сложение или вычитание, умножение на 10 (приписывание справа нуля) или применение правила

a×c + b×c = (a + b)×c, a×c − b×c = (a − b)×c

(слева направо или наоборот).

Докажите красивые равенства

12345678 × 9 + 9 = 111111111

123456789 × 8 + 9 = 987654321

объяснив, как можно посчитать левую часть с помощью простых действий.

4. Поделите число 999999 на 7 и умножьте результат на числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, получится 6 чисел. Проверьте, что они отличаются друг от друга перестановкой цифр по кругу.

5. Аня может любой кусок хлеба поделить на две равные (по весу) части. Как ей поделить 7 хлебов между 8 людьми поровну?